基於稀疏傅裏（lǐ）葉變換（huàn）的氯氣流量計（jì）流量分析

摘要：傳統的渦街信號處（chù）理方法（fǎ）主要是用傅裏葉變換，由於傳統的傅裏葉變換的時間複雜（zá）度與其分析的信號長度成正比，采（cǎi）樣點數（shù）越多其頻譜譜線越接近理想狀態，但需要較大的運算時間。 針對這（zhè）個問（wèn）題，提出了采用稀疏傅裏葉變換分析渦街流量信號的方法，利用實驗數據進行 Matlab 仿真（zhēn），驗證了該方法的性能優於傳統的方法，不僅提高了對強噪聲的（de）抗幹擾能力還加快了計算速（sù）度。
近半個世紀以來， 氯氣流量（liàng）計因其測量精度高、 無可動（dòng）部件、測（cè）量精度高等優點得到了迅猛的發展。 氯氣流量計主要測量部件為壓電傳感（gǎn）器，其易受到噪聲的幹擾，如管道振動、電磁幹擾、流體的（de）低頻擺動等。 在含有噪聲的信號的中提（tí）取出有用的（de）渦街信號， 國內外眾多研究學者對渦街信號（hào）的處理方式主要有FFT 的周期圖法、互相關法、自適應陷波濾波法、小波分析法和（hé）數字跟蹤（zōng）濾波（bō）方法等（děng） 。 但（dàn）是這些方法（fǎ）對於含有強噪聲的信號（hào）測（cè）量精（jīng）度不（bú）高或錯誤（wù），即（jí）噪聲（shēng）頻率在渦街信號頻率範圍內，而噪聲（shēng）的幅值高於渦街信號的幅值。 本文提出一種基於稀（xī）疏傅裏葉變換（huàn）的渦街信號分析方法， 該方法不（bú）僅具（jù）有很高的實時性而且對含（hán）有強噪聲的信號也能夠保證（zhèng）測量的準確性。
1 稀疏傅裏葉變換的理論分析
快速傅（fù）裏葉（yè）變換（ Fast Fourier Transform ， FFT ）的時間複雜度為 O （ nlogn ），與離散傅裏葉變換（ Discrete Fourier Trans-form ， DFT ）的複雜度 O （ N 2 ）相比，運算速度發生了質的飛躍，尤其是隨著采樣點數（shù） N 的增加（jiā）這（zhè）種優勢就越加明顯 。但是隨著時（shí）代的發展，需要實時處理的信號越來越多，即便是 FFT 對於這（zhè）樣的需求（qiú）也難以滿足。 傳統的 FFT 隻考慮到了信號的長度 N 需要為 2 的整數（shù）次冪，並未考慮到信號的自身的特（tè）性，如稀疏性。
在實（shí）際生活中常見的信號的傅裏葉係數隻有小部分是我們感興趣的，其大部分都是可以忽略的，如圖像和語音信號  。 針對這樣（yàng）的信號能否找到一種更加快速的算法來計算其傅裏葉變換（huàn），MIT的團隊給出了答案 。 該團隊提（tí）出了稀疏傅裏葉變（biàn）換（ Sparse Fourier Transform ， SFT ）， 該算法利用了信號頻域的稀疏性，先對信號進行分“桶”，將長的 DFT 運算變（biàn）為較（jiào）短（duǎn）的運算，再（zài）根據一定的規則（zé）重構了信號的頻譜，其運算速度為 FFT 的（de）十（shí）倍甚至百倍 。
稀疏傅裏葉變換使用的先決條件就（jiù）是分析的信號具有稀疏性，設 x （ n ）是長度為 N 點的（de）有限長序（xù）列，則該序列的 N 點（diǎn）離散傅裏葉變換逆變換為：

其中 Ω N 表（biǎo）示集合 邀（yāo）0 ， 1 ，……， N－1妖 。 隻有 K （ K塏N ）個（gè）非零的傅裏葉係數，隻通過信號 x （ n ）的部分（fèn）采樣值來確（què）定這 K 非零傅裏葉係數與位置。
1．1 頻域降采樣
參（cān）數 B 整除 N ，若想要以等間隔 N／B 對（duì）信號頻（pín）域進行降采樣，即（jí）：

混疊後頻域（yù）譜線由 N 減少到 B ，信號點數成倍較少，這正是SFT 算（suàn）法複（fù）雜度為亞（yà）線性的關鍵原（yuán）因之一。
1．2 稀疏傅裏葉變換運算步驟
稀疏傅裏葉變換包括頻譜重排、加窗函數、頻域降（jiàng）采樣（yàng）、定位、估值與迭代（dài）等運算過程。
1．2．1 頻譜重排
頻譜重排的目的是使各大（dà）值點均勻分布（bù）， 分桶時大頻點不要分到同一個桶中，當兩個或兩個以上（shàng）大值點在同一桶中時（shí），無法求解取大值點的頻率和位置。p （ n ） ＝x ｛ mod ［ σ · n ， N ］｝， nε ［ 1 ， N ］ （ 4 ）式中 σ 為一個隨機數，且為奇數（shù），並滿足 mod ［ σ×σ －1 ， N ］ ＝1 ，這就保證了 σ 與 N 互為（wéi）質數， σ －1 為 σ 的模逆算（suàn）子。 根據傅裏葉變換可知上式中的（de） p （ n ）， x （ n ）滿足：P （ k ） ＝X ｛ mod ［ σ－1 · k ， N ］｝， σ ， kε ［ 1 ， N ］ （ 5 ）通過（guò）式（ 4 ）、（ 5 ）知道信號時域上的重排也會導致頻譜信號位置上（shàng）發生變換。
1．2．2 窗函數濾波器
為了保證算法的效率且防止頻譜泄漏，需要設（shè）計一個（gè）在時域（yù）和頻域能量都集中的濾波器， 根據文獻該濾波器的為 sinc 窗函數與高斯窗函數的卷積，該窗函數具有過渡（dù）帶陡峭、通帶平滑等（děng）特點。
1．2．3 哈希映射
定義一個映射區間 Ω N →Ω B 的哈希函數： h σ （ k ） ＝round （ σ ·k · N／B ）， round 表示四舍五入， 將 Ω N 中每一個點都映射（shè）到 Ω B中。 定（dìng）義偏移量（liàng）： o σ （ k ） ＝σ · k－h σ （ k ）·（ N／B ）；定義集合（hé） J ，集合 J包含了（le） Z （ k 中 K 個較大幅值的坐（zuò）標 k ；通過哈希反（fǎn）映射得到 I r ，即 I r ＝邀kε ［ 0 ， N－1 ］ ｜h σ （ k ） εJ妖 ，*後從中取出 K 個大值點對（duì）原信號的頻率估計。
1．2．4 循環投票
對於每一個 kεI ， X‘（ k ） ＝Z （ h σ （ k ） W Nτk／G （ o σ （ k ））頻率估計值。 每一次定位循環得到一個坐（zuò）標集合 I r ，在 L＝O （ log 2 N ）次循環中（zhōng），對任意坐標 kεI＝I 1 U …… υI r ，若出現次數大於 L／2 ，則將（jiāng）其歸入（rù）集合 I‘ 中，並認為集合 I‘ 包含所有目標頻點坐標。 對每（měi）一個kεI‘ ，取 L 次循環得到（dào） X （ k ）的中值（zhí）作為*終的頻率值，即：X （ k ） ＝median （ 邀X r （ k ） ｜rε邀1 ，……， L)
2 渦街信號的特點（diǎn）
在一（yī）定範圍內，流體（tǐ）流速（sù） V 與渦街（jiē）頻率 f 有以下關係：
f＝πK 1 VD2／4 （ 6 ）
其中（zhōng） K 1 為儀表係數（shù）， D 為管道（dào）直徑。在（zài）管道口徑（jìng） D 不（bú）變（biàn），流體密度不變的情況下，渦街傳感器（qì）的輸出幅值與 f 2 成正比，具體表達形式可以根據實（shí）驗測出。本文（wén）以 50mm 口（kǒu）徑氣體實驗為例，數據如表 1 所示：

從表（biǎo） 1 的氣（qì）體流量的（de）實際幅值和擬合幅值的誤差可以看出，渦街信號的幅值在理論值附近波動，且波動的範圍一定，則幅頻關係更一般的（de）形式表達如下：

其中 c 為係數， δ 為相（xiàng）對誤差限， 其示意圖如圖 2 所示，圖中實線為幅頻關係的理論擬合曲（qǔ）線， 而虛線為幅值波動的閾值曲線。根據實驗的數據，渦街信號幅值波動的相對誤差為 ±10％ 。

3 實驗仿真
本實驗采用（yòng）基於對（duì）管道（dào）振動信（xìn）號進行（háng）分析， 其采樣點數為2048 ，采用稀（xī）疏傅裏葉變換對數據進行頻譜分析。 如圖 3 所（suǒ）示。

圖 4 是用 FFT 算法對渦街時域信號分析後得到（dào）的頻譜圖，其（qí）中渦街信號頻率為 141．8Hz ，振動噪聲信號頻率為 25．34Hz 。從圖中可（kě）以看出，信號是稀疏的，稀疏度 K＝2 。

從（cóng）圖 5 可以看出 SFT 算法能夠很（hěn）好恢複，對渦街信（xìn）號的頻率恢複沒有誤差，而幅值的誤差不超過 1％ ，這對含有（yǒu）強振（zhèn）動噪（zào）聲的渦街信號精確測量至關重（chóng）要；圖 6 是經 SFT 頻譜分析所（suǒ）得到的數據通過幅頻（pín）特性（xìng）曲（qǔ）線來辨別是噪聲信號還是渦街信號。通過幅頻關（guān）係的信號處理方法可以從含有振動的混合信號中識別渦街信號，從而達到提（tí）高氯氣流量計抗振（zhèn）動性能的目的。

現在分析 SFT 算法（fǎ）的優越性。 基於哈希映（yìng）射的稀疏（shū）傅（fù）裏葉變換算法的時間複雜度（dù）為

由前文可知 FFT 算法時間（jiān）複雜度（dù）為 O （ Nlog 2 N ）。 隨著信號長度 N 的增長，兩者的時間複雜度也會發生變化。 采用時（shí）間複雜度的數量級的比（bǐ）值來刻畫這種變化：

當 K＝2 ，SFT 算法與 FFT 算法（fǎ）的時間複雜度的比值關係（xì）如圖 7 所示。處理的 ROBLOCAM－CN 算法（fǎ）進行對比，其（qí）估計（jì）誤差率 eer(t)對比效果如圖 4 所示。從（cóng）對比結果中可以看到，若不對通信噪聲進行處理則各自由節（jiē）點和牆的位置始終存在偏差 ， 而 在ROBLOCAM－CN 算法下所有的自由節點（diǎn）與牆都迅速收斂至各自的精確位置，驗證了本（běn）算法的有效性和魯棒性。 各（gè）節點的收斂（liǎn）軌（guǐ）跡和*終的定位與（yǔ）環境構建效果如圖 5 所示。


5 結（jié）束語
本（běn）文提出了一種噪（zào）聲情形下新穎的室內定位（wèi）與（yǔ）環境構建算法，該算法不需要無線傳感器網絡中的節點配備激光傳感（gǎn）模塊，隻（zhī）需要通過節點間的射頻信（xìn）號即可實（shí）現對周圍環境的感知，為室內定位與環境構建技術提供了一種經濟且可靠的解決方案。

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